Integraalimuunnokset
| Rakennetyyppi: | Opintojakso |
|---|---|
| Koodi: | IXS9110 |
| OPS: | TT 2021 |
| Taso: | Insinööri (AMK) |
| Opiskeluvuosi: | 3 (2023-2024) |
| Laajuus: | 3 op |
| Vastuuopettaja: | Mäkelä, Jarmo |
| Opetuskieli: | Suomi |
Osaamistavoitteet
Monien matemaattisten ongelemien ratkaisu helpottuu huomattavasti, kun funktioden itsensä sijasta tarkastellaankin niiden integraalimuunnoksia. Kun funktio korvataan integraalimuunnoksellaan, jonka tuottamiseen tarvitaan integrointia, funktio korvautuu uuden muuttujan uudella funktiolla. Tärkeimmät integraalimuunnokset ovat Fourier-muunnos, jota käytetään etenkin värähdysilmiöiden analysointiin, sekä Laplace-muunnos, jota käytetään differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa. Differentiaaliyhtälöille läheistä sukua ovat differenssiyhtälöt, joiden ratkaisuna saadaan lukujono. Differenssiyhtälöitä voidaan ratkaista niin sanottujen z-muunnosten avulla. Tällä kurssilla, joka perustuu vahvasti Analyysin jatkokurssilla opittuun kompleksianalyysiin, opiskelija opii perustiedot kaikista näistä muunnoksista, sekä niiden soveltamisesta.
Opiskelijan työmäärä
81 h, josta lukujärjestykseen merkittyä lähiopetusta VAMKissa 42 h ja yliopistolla 24 h.
Oman oppimisen arviointi 1 h sisältyy lähiopetukseen.
Edeltävät opinnot / Suositellut valinnaiset opinnot
Integraalilaskenta, Differentiaaliyhtälöt ja sarjat, Analyysin jatkokurssi.
Sisältö
1. Lyhyt kompleksianalyysin ja residylauseen kertaus Analyysin jatkokurssilta.
2. Fourier-sarjat, Dirichlet’n lause.
3. Kompleksinen Fourier-sarja.
4. Seisovan aaltoliikkeen tarkastelu Fourier-sarjojen avulla.
5. Joidenkin sarjojen laskeminen Fourier-sarjojen avulla.
6. Differentiaaliyhtälön ratkaisu Fourier-sarjoilla.
7. Fourier-muunnos ja käänteismuunnos.
8. Esimerkkejä Fourier-muunnosten ja käänteismuunnosten laskemisesta residylauseen avulla.
9. Diffentiaaliyhtälön ratkaisu Fourier-muunnosten avulla.
10. Laplace-muunnos.
11. Käänteinen Laplace-muunnos.
12. Bromwichin integraali.
13. Käänteisten Laplace-muunnosten laskeminen residylauseen avulla.
14. Differentialiyhtälöiden ratkaisu Laplace-muunnoksilla.
15. Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu Laplace-muunnoksilla.
16. Konvoluutiolause.
17. Origon siirto Laplace-muunnoksissa ja käänteismuunnoksissa.
18. Kausaalinen jono.
19. Kausaalisen jonon z-muunnos.
20. Käänteinen z-muunnos.
21. Käänteisen z-muunnoksen laskeminen residylauseen avulla.
22. Differenssiyhtälö.
23. Differenssiyhtälön ratkaisu z-muunnoksen avulla.
24. Mellin-muunnoksen alkeita.
Opiskelumateriaali
Kreyszig,E: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons. Opettajan valmistama materiaali.
Opetusmuoto / Opetusmenetelmät
Oppitunneilla käsiteltävä teoria, esimerkit ja laskuharjoitukset, itsenäisesti ratkaistavat kotitehtävät.
Arviointikriteerit
Arvosana 5: Opiskelija pystyy luovaan ongelmanratkaisuun lähes kaikissa opintojakson sisältöön liittyvissä tehtävissä.
Arvosana 3: Opiskelija kykenee ratkaisemaan opintojakson keskeisiin sisältöihin liittyviä soveltavia tehtäviä.
Arvosana 1: Opiskelija osaa ratkaista opintojakson keskeisiin sisältöihin liittyviä perustehtäviä.
Arviointimenetelmät
Kotitehtävät, harjoitustyöt, tentti.